Enamik inimesi, kes pole matemaatikat õppinud, usub, et matemaatika on staatiline tõe ehitis. Levinud arusaam on, et matemaatilised sümbolid esindavad ideid ja on olemas loogilised reeglid, mida saab kasutada uute ideede loomiseks: neid nimetatakse teoreemide tõestusteks. Inimesed näevad teoreeme ja ideid, mida need esindavad, kui etteaimatavat ja teadaolevat maailmapilti. Enamikku inimesi takistab selle sügavama teadmise poole püüdlemine selle raskuse tõttu. Ja tõesti igav, eks?
Viimaste aastate jooksul on see staatiline matemaatikavaade avaldunud mudelitest sõltuvusena. Need olid tegelikud matemaatilised mudelid, näiteks nakkuste arvu ja viiruse leviku ennustamisel, ning ka üldisemad mentaalsed mudelid, näiteks täielik sõltuvus teadusest, mis dikteerib, kuidas me kõik peaksime käituma – kas peaksime jääma karantiini? Kas peaksime kandma maski? Kas peaksime hoidma kahe meetri kaugusel teineteisest?
See seisukoht toetab kindlalt ideed, et tõde, mida me otsime, on põhimõtteliselt dikteeritud loodusmaailma poolt, mis on ratsionaalne, mehhanistlik ja etteaimatav.
Loomulikult on meil indiviididena psühholoogilised piirangud, mis takistavad meil tõde täiesti objektiivselt nägemast. Oma suurepärases raamatus 12 elureeglit Jordan Peterson arutleb selle üle, kuidas meie tajud on alati keskendunud ja kuidas me kahe silma vahele jätame suurema osa sellest, mida maailmal meile näidata on. Ta viitab oma väite tõestuseks psühholoogilistele uuringutele ja illustreerib, kuidas see tähelepanek on väga vana, kuna seda mainitakse kui Maya iidsetes hindu vedalikes tekstides.
Seega on meil psühholoogiline piirang, mis takistab meil nägemast kõike maailmas ja lubab vaid kitsast, fokuseeritud vaadet, mida osaliselt juhivad meie soovid. See kehtib nii teadlaste ja poliitikakujundajate kui ka teiste valdkondade inimeste kohta.
Teaduse lubadus on muidugi see probleem lahendada. On olemas meetod, viis katsete hoolikaks defineerimiseks, et seda objektiivset tõde saaks teistega jagada ja me saaksime jõuda ühise arusaamani meid ümbritsevast maailmast. Teaduse tipp on see usk ratsionaalsusesse, et mudelid moodustavad objektiivse reaalsuse aluse. Kuid isegi teadusel on oma piirid tõe osas, mida ta pakkuda suudab.
Sügavale teadusesse kaevudes jõuad matemaatikani. See moodustab kindlasti loogilise mõtlemise aluse ja matemaatilised tõed on täielikud.
Enamik inimesi ei tea – välja arvatud juhul, kui nad saavad matemaatikat magistriõppes õppida –, et matemaatika alused pole nii kindlad, kui arvata võiks, ja et idee sellest, mida saab või ei saa tõestada, pole nii selge ja selge. Peaaegu sajand tagasi toimunud matemaatilised ilmutused raputasid mehhanistlikku maailmavaadet.
Enne 20. sajandi algust keskendusid paljud säravaimad matemaatikud selle aluste mõistmisele. Matemaatiku jaoks on alused need kõige põhilisemad arusaamise elemendid, mis on kõige muu ehituskiviks. Alustest tuleneb kõik muu.
Selle ajajärgu loogik ja filosoof Bertrand Russell töötas koos matemaatik-filosoofi Alfred North Whiteheadiga, et luua matemaatika algprintsiipidest lähtuvalt. Koos lõid nad hiiglasliku teose, mis kirjeldas, kuidas kogu matemaatikat saab genereerida mõne põhiidee ja -reegli põhjal. Kolmeköiteline teos, mis ilmus aastatel 1910–1913, kandis nime Matemaatika põhimõte.
Selle ettekujutuse abstraktsusest aimu andmiseks alustame meie inimliku taju põhitõest. See väidab, et me teame sisuliselt, kuidas üht objekti teisest eraldada ja seejärel saame hakata neid objekte rühmitama.
Nii see algab: esimene komplekt on eimillegi oma. (Tõesti!) Aga idee mitte millestki pole midagi. Kui me identifitseerime hulga, mis sisaldab ühte asja, seda eimiski, siis on meil nüüd hulk, mis on suurem kui eimiski, ja nii saamegi defineerida arvu 1. Nii see läheb, reeglitega, mis määravad, kuidas ühest matemaatilisest asjast teise jõuda, loogikareeglitega, mis ehitavad üles kogu teadaoleva matemaatika universumi.
Tol ajal pidas matemaatikute kogukond seda fantastiliseks edasiminekuks. Vaidlused selle üle, mida see inimliku arusaamise jaoks tähendab, käisid ägedalt. Näiteks kui kogu matemaatilist tõde saab genereerida põhiprintsiipide ja loogikareeglite abil, miks meil siis üldse matemaatikke vaja on? Arvuti (kui see on välja töötatud) saaks pimesi edasi liikuda, luues uusi teoreeme eimillestki. Kui usute, et matemaatika on looduse keel, siis pakuks see mehhanistliku viisi kõigi looduse saladuste paljastamiseks.
Unistus matemaatika aluspõhimõttest elas poolteist aastakümmet, kuni noor tšehhi matemaatik nimega Kurt Godel1930. aastal esitas Gödel tõestuse, mis näitas selgelt, et Matemaatika põhimõte oli puudulik. Tema öeldu põhiolemus on see, et seespool mistahes formaalne süsteem:
On asju, mis on tõesed, mida ei saa tõestada.
Hämmastaval kombel tõestas Gödel seda väidet järgmiselt: ehitusSee tähendab, et ta tegelikult näitas, et kasutades reegleid Matemaatika põhimõte Ta võis küll sellise väite luua, mis oleks küll tõene, aga mida ei saaks reeglite abil tõestada. Kuidas ta sellise asja konstrueeris?
Ta ründas Principia üldist eesmärki ... geniaalne uus meetod loogikasIga tõearvuga seostas ta arvu ja iga loogikareegliga viisi, kuidas tõearvudelt teistele tõearvudele jõuda. Iga samm oli samuti seotud arvuga. Seejärel, kasutades numbreid iseenda vastu, lõi ta uue arvu, mis pidi olema tõearvu, kuid millele teiste arvudega ligi ei pääsenud.
Just see rekursiivne mehhanism, kus numbrid olid nii laused kui ka käsusammud, inspireeris seda ilmutust. Seega leidis ta, et lausele vastab arv, mis on raamistikus tõene. Principia, aga mida ei saanud tõeväärtusarvude genereerimise reeglite abil tõestada.
Üheainsa hoobiga hävitas Gödel Russelli ja Whiteheadi ning paljude teiste loogikute aastatepikkuse töö, kes otsisid seda fundamentaalse tõe nirvaanat, mis ehitaks üles kogu matemaatika ja laiemalt ka meie arusaama füüsilisest universumist.
Põhimõtteliselt kasutas ta loogika ja numbrite jõudu iseenda vastu.
See on tähtis.
Ükskõik, mida sa matemaatikuna tegid, ükskõik millise mudeli sa lõid, ükskõik kui hoolikalt sa põhieeldusi ja reegleid defineerisid, ei suutnud sa kunagi saavutada täielikku arusaamist ainest, mida sa uurisid.
Gödeli töö eksisteerib ainult matemaatika valdkonnas. See ei tõesta midagi teaduslikus ega inimlikus valdkonnas, välja arvatud juhtudel, kus need matemaatikaga kokku puutuvad. Kuid see võib anda teavet meie elus tehtavate tegelike otsuste kohta.
Eksperdid esitavad meile pidevalt ideid, mis näitavad meile eluviisi ja uskumusi. Need kõik on mudelid, mis arvatavasti põhinevad ratsionaalsusel ja loogikal. Neid ideid esitatakse lõppeesmärkidena. Neid esitatakse nii, nagu polekski olemas muud tõde. Gödel näitas meile, et see mehhanistlik loodusvaade ei pea vastu isegi kõige elementaarsemale loogilisele analüüsile.
On olemas inimlikke tõdesid.
On olemas vaimseid tõdesid.
Kosmoses on sügavamaid tõdesid, mida meil pole lubatud mõista.
Kui poliitik, autoriteet või isegi sõber ütleb sulle, et kõik on teada, et on olemas mudel, mis määratleb tõe, ja et seda mudelit järgides saab tulevik teada, siis ole skeptiline. On olemas saladusi, mis jäävad inimlikust arusaamast väljapoole ja jäävad tabamatuks isegi inimese sügavaima loogilise arutluskäigu puhul.
Ja seda tõestas üks mees.
Liituge vestlusega:
Avaldatud all Creative Commons Attribution 4.0 rahvusvaheline litsents
Kordustrükkide puhul palun muutke kanooniline link tagasi algsele. Brownstone'i instituut Artikkel ja autor.
